Тест №1
1. Упростите выражение \[ \frac {(a-b)^2 + ab} {(a+b)^2 -ab} : \frac {a^5 + a^3 b^2 + a^2 b^3 + b^5} {(a^3 + a^2b + b^2a + b^3)(a^3 - b^3)} \] Для каких значений a и b определено это выражение?
2. Сколько решений имеет уравнение \[ |x-1| + |х-3| = a\] для разных значений параметра a?
3. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 7, а их произведение равно 8. Найдите четвертый член геометрической прогрессии.
4. Решить уравнение \[ \sin^4x + \cos^4x + \sin{2x} = \frac 7 5 . \] 5. Решите уравнение \[ (x^2-x+1)^4 - 5x^2(x^2-x+1)^2 + 4x^4 = 0 . \] 6. Решить неравенство
\[ \log_{\frac {x} {10}} \log_x \sqrt{10-x} > 0. \] 7. Решить уравнение
\[ \ sqrt {\ cos ^ 4x - \ frac {\ cos ^ 2x} {2} + \ frac {1} {16} } + \ sqrt {\ cos ^ 4x - \ frac {3 \ cos ^ 2x} { 2} + \frac {9}{16} } = \frac 1 2. \] 8. Углы при вершинах B и C выпуклого четырехугольника ABCD прямые, а синус угла D равен `4/sqrt 17` .
Известно, что сторона ВС вдвое длиннее стороны АВ и на 5 см длиннее стороны CD. Найдите площадь этого четырехугольника.
9. В треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 6 см вписана окружность, которая касается стороны АС в точке D. Найдите длину отрезка BD.
10. В правильном тетраэдре ABCD с ребром a точка F — середина ребра CB, а точка E — середина отрезка DF. Найдите длину отрезка АЕ.
Тест №2
1. Упростите выражение \[ (\sqrt 3 + 1)\sqrt{\sqrt{24-16\sqrt2}-1} -\sqrt6 +\sqrt3 +\sqrt2 . \] 2. Решить уравнение \[ \cos{\left(\frac32\pi + x\right)} + \cos{\left(\frac32\pi - 5x\right)} = -\cos{\left( \ frac\pi2 + 2x\right)} \] Затем запишите корни, лежащие на отрезке \[ \left[ -\frac{\pi\sqrt3}2; \frac{\pi\sqrt5}2\right]. \] Сколько их?
3. О двух треугольниках известно, что длины сторон первого образуют арифметическую прогрессию, а второго – равностороннюю. Известно, что их периметры совпадают и равны 3 см, а площади относятся как 4:5. Определить стороны треугольников.
4. Решить неравенство \[ \left( \sin \frac{59\pi}{20} \right)^\sqrt{\sqrt{7-x}-x+1} - \cos{\left( \frac { 299}{20}\pi \right)} \ge 0 .\] 5. Решить неравенство для всех значений параметра a \[ \log_a(x-2) + \log_ax \gt \left( \ frac x5 \right)^ {\log_{\frac x5}2} - 1 .\] 6. Определить a, если известно, что уравнение \[ (a+1)x^4 -2(a+6)x ^2 + а - 2 = 0 . \] имеет четыре разных корня.
7. Решите неравенство \[ (x^2-x+1)^4 - 5x^2(x^2-x+1)^2 +4x^4 \ge 0 . \] 8. Решить уравнение \[ |y-2|+1 = 2\cos(\pi xy) \cdot \lg(x+y) - \lg^2(x+y) . \] 9. В выпуклый четырехугольник ABCD с углами \( \угол A = 5\pi/9 \) и \( \угол B = 7\pi/18 \) вписана окружность, касательная к отрезкам AB, BC, CD, AD в точках E, F, G, H соответственно. Найдите угол FGH.
10. В правильном тетраэдре ABCD с ребром a точка F — середина ребра CB, а точка E — середина отрезка DF. Найдите точку H на ребре DC такую, что расстояние AH + NOT минимально. Что это за расстояние?
Тест №3
1. Упростите выражение \[ \left( \frac 1{\sqrt a + \sqrt{a+1}} + \frac 1 {\sqrt a - \sqrt{a-1}} \right) : \left( 1 + \sqrt{\frac{a+1}{a-1}} \right) \] 2. Водохранилище снабжается водой по пяти трубам. Первая труба наполняет его за 40 минут; 2-я, 3-я и 4-я, работающие одновременно - через 10 минут; 2-я, 3-я и 5-я - через 15 минут; 4-я и 5-я - через 20 минут. За какое время бак наполнится всеми пятью трубами одновременно?
3. В арифметической прогрессии с положительной разностью шестой член равен 3. При каком целом значении разности прогрессии произведение первого, четвертого и пятого членов прогрессии будет наибольшим?
4. Каково отношение между величинами a, b и c в выражении \[ y = a(\sin^6x + \cos^6x) + b(\sin^4x + \cos^4x) + c\sin^ 2x\cos^2x\] не зависит от x? Чему оно тогда равно?
5. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x+2
9. В треугольнике ABC, в котором AB : BC = 2 : 3, медиана AM пересекает биссектрису BL в точке O. Найдите отношение площади треугольника OBM к площади треугольника AOL.
10. Треугольная пирамида SABC имеет в основании равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной 4 см и перпендикулярной ребру SC. Найдите объем пирамиды, если медиана CD основания пирамиды составляет угол \( \arcsin(\sqrt{55}/10) \) с ребром SA и угол \( \pi / 2 \) с край СК.